Álgebra Lineal

ÁLGEBRA LINEAL CURSO

Semana 1: Construir y operar matrices (el autor de esta página no se hace responsable de cómo uses esta página ni por el impacto que puedan tener posibles errores cometidos al resumir ;v)

• Matrices iguales: Mismo tamaño y componente idénticas
• El conjunto de todas las matrices de tamaño $m \times n$ es $M_{m\times n}$
• La suma de 2 matrices del mismo tamaño es una matriz donde las componente correspondientes se suman
• El producto de una matriz por un escalar es una donde cada a componente de la primera se le multiplica por dicho escalar
• Multiplicación de matrices:
  • Vector Fila por Vector columna: un escalar que es la suma de las componente de ambas matrices en orden
  • Vector Columna por Vector Fila: Una matriz conformada por tantas filas como elementos en el Vector Columna. Cada fila es una copia del Vector Fila, pero multiplicado primero por la componente correspondiente a la fila del Vector Columna. Es decir, la primera fila de la matriz resultante es el Vector Fila multiplicado escalarmente por la primera componente del Vector Columna, la segunda por la segunda componente y así para cada componente del Vector Columna.
  • Matriz por Matriz: Solo cuando el número de columnas de la primera es igual al número de filas de la segunda.
    • Sean las dimensiones $m\times x$ y $x \times n$, la matriz resultante es de tamaño $m \times n$
    • Cada elemento de la matriz resultante se puede encontrar con la siguiente fórmula, donde $C_{ij}$ es un elemento de la matriz, $n$ es la cantidad de elementos en la fila/columna de $a$ o $b$, el subíndice $k$ de $a$ es el $i$ de $C$ el subíndice $k$ de $b$ es el $j$ de $C$:
      $$C_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}$$
• Transpuesta: una matriz denotada por $A^t$ tal que las filas y columnas de $A$ se intercambian en orden (la primera fila con la primera columna y así sucesivamente).
• Matriz cero: una matriz con todas sus componentes nulas
• Matriz cuadrada: cuando sus dimensiones $i\times j$ son iguales: $i=j$. Una matriz "de orden $n$ es una matriz con lados de tamaño $n$.
• Matriz identidad: Una matriz de orden $n$ con solamente nulos, excepto por la diagonal principal, que tiene unos. Para toda matriz cuadrada del mismo orden, su producto con la identidad del mismo orden es la misma matriz.
• Una matriz cuadrada de orden$n$ es triangular superior o inferior cuando todos los componentes debajo o arriba de la diagonal superior son nulas respectivamente.
• Una matriz es simétrica si $A=A^{t}$
• Una matriz es antisimétrica si $A^{t}=-A$

Semana 2: Operaciones elementales; matrices escalonadas, ER e inversa

• Operaciones elementales (siempre es posible escalonar una matriz)
  • Intercambio de filas: $f_{i} \leftrightarrow f_{j}$
  • Multiplicación de fila por constante diferente de $0$: $f_{i} \rightarrow \lambda f_{i}$
  • Adición del múltiplo de una fila a otra: $f_{i} \rightarrow f_{i} + \lambda f_{j}$
• Matriz elemental, la matriz que resulte de realizarle operaciones elementales a la matriz identidad de orden $n$
• Dos (¿o más?) matrices son equivalentes si podemos obtener una a partir de otra mediante operaciones elementales
• Matriz nula: todas sus componentes son $0$
• • El pivote es el primer elemento no nulo de una fila escalonada, leído de izquierda a derecha.
• Matriz escalonada:
  • Si hay filas de ceros, están todas en la parte inferior de la matriz
  • El pivote de cada fila está más a la izquierda que el pivote de su fila siguiente
  • Si en cada fila el pivote es el único elemento no nulo y es $1$, la matriz es escalonada reducida
• Una matriz de orden $n$ es invertible si existe otra del mismo orden ($A^{-1}$) tal que $AA^{-1} = A^{-1}A = I_{n}$. $A^{-1}$ es la matriz inversa de $A$ y es única.
• La inversa de una a matriz de orden 2:
  $$A^{-1} = \frac{1}{a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}} \begin{bmatrix} a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} \end{bmatrix}$$
• Inversa usando operaciones elementales
  • Hacemos una matriz ampliada A|I, donde A es una matriz invertible e I la matriz identidad del mismo orden
  • Tenemos que convertir a la matriz A a su forma escalonada reducida, aplicándole las mismas operaciones elementales a la matriz identidad
  • El terminar, la matriz identidad se habrá transformado en $A_{1}$

Semana 3: Rango, cofactores, determinante y sus propiedades

• El rango de una matriz es el número de pivotes de su forma escalonada
• Correspondiente menor:
  • Cada elemento menor $C_{ij}$ se obtiene eliminando de la matriz original la $i$ columna y $j$ fila.
  • Por ejemplo, para una matrix de orden 3:
    $$\begin{bmatrix} a & b &c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} e & f \\ h & i \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} d & f \\ g & i \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} d & e \\ g & h \end{bmatrix} \\ \\ \begin{bmatrix} b & c \\ h & i \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} a & c \\ g & i \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} a & b \\ g & h \end{bmatrix} \\ \\ \begin{bmatrix} b & c \\ e & f \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} a & c \\ d & f \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} a & b \\ d & e \end{bmatrix} \end{bmatrix}$$
• Matriz de cofactores
• La matriz adjunta es la traspuesta de la matriz de cofactores
• El recíproco del determinante de una matriz A por la matriz adjunta de A es $A^{-1}$
• El determinante de una matriz
  • Para hallar el determinante de una matriz se elige un lado para comenzar (primera fila, última, primera columna, última)
  • Por ejemplo, digamos que elijo el lado superior (primera fila)
  • Agarro, en orden de izquierda a derecha, los elementos de la primera fila y hallo sus menores
  • Saco el determinante de los menores
    • Nótese cómo este proceso nos obliga a encontrar menores hasta llegar a matrices de 2x2. Precisamente, el determinante de una matriz de 2x2 es: $E_{1 1}E_{2 2}-E_{12}E_{21}$, donde $E_{ij}$ es un elemento de de la matriz 2x2.
  • En orden, los determinantes de menores “pares” (es decir, de los segundos, cuartos, sextos componentes de la fila 1 que elegimos) se les multiplica por (-1)
  • Se suman todos los determinantes y el resultado es el determinante de la matriz original
    Por ejemplo:
    Si A=$\begin{bmatrix} a & b &c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$, y eligo operar desde su lado superior (primera fila) su determinante det(A) es:
    $$det(\begin{bmatrix} e & f \\ h & i \end{bmatrix}) - det(\begin{bmatrix} d & f \\ g & i \end{bmatrix}) + det(\begin{bmatrix} d & e \\ g & h \end{bmatrix})$$
• Propiedades del determinante para matrices de orden $n$
  • El determinante de una matriz triangular es el producto de los componentes en su diagonal principal
  • $det(cA) = c^{n}\times det(A)$
  • $det(A) = -det(B)$ si $B$ es el resultado de intercambiar filas o columnas en $A$
  • $det(A)=det(B)det(B)$ si $B$ es el resultado de sumar un múltiplo de una fila o columna de $A$ a otra
  • $det(A)=0$ si una fila o columna de $A$ es nula o si dos filas o columnas son iguales
  • $det(I_{n})$=1
  • Matriz y transpuesta comparten determinante
  • El determinante del producto de matrices es igual al producto de sus determinantes individuales
  • Si $A$ es invertible, su determinante no puede ser 0
  • El determinante de la inversa es el recíproco del determinante de la matriz

Semana 4: sistemas de ecuaciones $Ax=b$, eliminación gausiana, identificación de variables, consistencia.

• Ax=b: Dado un sistema de ecuaciones con la forma
  $$a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\ \vdots \\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+...+a_{mn}x_{n}=b_{m}$$
  este se puede escribir como una ecuación matricial:
  $$Ax=b \\$$
  donde
  $$A=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn} \end{bmatrix},$$
  $$x=\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2}\\ \vdots \\ x_{m} \end{bmatrix},$$
  y
  $$b=\begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \end{bmatrix}$$
• Un Sistema de Ecuaciones Lineales (SEL) se puede resolver con Eliminación Gaussiana.
  Si tenemos una ecuación de la forma $Ax=b$, podemos hacer una matriz ampliada [A|b]:
  $$[A|b]=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}&|&b_{1}\\ a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}&|&b_{2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots&| &\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn}&|&b_{m} \end{bmatrix},$$
  Al escalonar de forma reducida el lado izquierdo (ignorando si los b son pivotes, 0 o lo que sea; pero aplicándoles las mismas operaciones elementales por fila) se obtiene el resultado directamente:
  $$[A|b]=\begin{bmatrix} 1&0&\dots&0&|&b'_{1}\\ 0&1&\dots&0&|&b'_{2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots&| &\vdots\\ 0&0&\dots&1&|&b'_{m} \end{bmatrix}$$

$x_{1}=b'_{1}, x_{2}=b'_{2},...,x_{m}=b'_{m}$

La respuesta es obvia.

• Teorema de Rouché-Frobenius
  • Si $rang(A)=rang(A|b)=$ #de colunas de $A$, el sistema es consistente determinado, por lo menos una solución
  • Si $rang(A)=rang(A|b)<$ #de colunas de $A$, infinitas soluciones?
  • $rang(A)\not{=} rang(A|b)$ no hay soluciones, es inconsistente
• Espacio nulo: $N(A)=\{x\in \reals^{n}:Ax=0\}$

Semana 5: Espacios vectoriales y combinación lineal

• El espacio m-dimensional se define como $\reals^{m}=\{(x_{1}, x_{2},...,x_{n}):x_{i}\in \reals\}$

  • Dados $x$ y $y$, m-uplas en $\reals^{m}$, su suma es la suma de sus elementos correspondientes y el producto de una con un escalar es el escalar por cada uno de sus elementos.
  • A $R^{m}$ junto a estas operaciones se les llama “espacio vectorial euclidiano”
  • Los elementos de $R^{m}$ son llamados vectores, y se pueden representar así:
    $$x=\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{m} \end{bmatrix}$$

• Propiedades de un espacio vectorial

  • Asociativo y conmutativo
  • Existe el 0
    • $0=(0,0,0,...,0) \in \reals^{m}$ tal que $x+0=x$
  • Para todo x en el espacio, existe un y tal que x+y=0
  • 1x = x
  • Distributivo con escalares

• Subespacio vectorial (V) $\leftrightarrow$

  • $0\in V$
  • $\forall x,y \in V: x+y\in V$
  • $\forall \alpha \in \reals: \alpha x\in V$

• Combinación lineal: Diremos que el vector V $\in \reals^{m}$ es combinación lineal de de los vectores $u_{1}, u_{2},..., u_{n}\in \reals^{m}$ si existen $x_{1}, x_{2},..., x_{n}\in \reals$ tales que $v=x_{1}u_{1}+x_{2}v_{2}+...+x_{n}u_{n}$

  • A los números $u$ se les denomina coeficientes, pesos o ponderantes
    Por ejemplo:

  El vector $\begin{bmatrix}-5 \\2\end{bmatrix}$ se puede expresar como combinación lineal de $\begin{bmatrix}1 \\0\end{bmatrix}$ y $\begin{bmatrix}0 \\1\end{bmatrix}$, porque -5$\begin{bmatrix}1 \\0\end{bmatrix}$ + 2$\begin{bmatrix}0 \\1\end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix}-5 \\2\end{bmatrix}$.

• Independencia lineal: diremos que los vectores $v_{1}, v_{2},...,v_{n}\in \reals^{m}$ son linealmente independientes si la única solución de

$$a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+...+a_{n}v_{n}=0$$
es
$$a_{1}=a_{2}=...=a_{n}=0$$

• Si fuese linealmente dependientes, algún vector sería múltiplo de otro. Otra forma de verlo es haciendo una matriz ampliada de vectores por el vector columna de escalares e igualar a cero
• Base y dimensión: Dada una colecciòn de vectores en $R^{m}$, el espacio que generan es el conjunto de todas las combinaciones lineales de estos vectores, denotado con $Gen\{v_{1}, v_{2},..., v_{n}\}$.

• $$Gen\{v_{1}, v_{2},..., v_{n}\}=\{\alpha \in R^{m}/\alpha = \alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{12}+\dots+\alpha_{n}v_{n}:\alpha_{i}\in \reals\}$$

• Si un subespacio vectorial $V$ de $R^{m}$ es igual a un espacio generado, la colección de los vectores de ese espacio genera V.
  • Por ejemplo, $\{\begin{bmatrix}1 \\0\end{bmatrix}$ y $\begin{bmatrix}0 \\1\end{bmatrix}\}$ genera el espacio vectorial $R^{2}$
• Base de un subespacio: un conjunto de vectores linealmente independientes pertenecientes a al subespacio tales que el espacio que generan es el subespacio.
• Dimensión de un espacio vectorial: el número de vectores que tiene su base.

  • $$dim(V)=r$$

  • Por ejemplo, $\{\begin{bmatrix}1 \\0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 \\1\end{bmatrix}\}$ es una base de $\reals^{2}$, $\therefore dim(\reals^{2})=2$
    \

Semana 6: generadores de espacios columna y espacios fila, expresar el vector $b$ como combinación lineal de las columnas de $A$, demostrar la invarianza de espacios fila y columna y relacionarlo con independencia lineal.

• Espacio columna de una matriz:

$$col(A)=Gen\{c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}\}$$
donde $c_{n}$ son las columnas de $A$.

• Espacio fila de una matriz:

$$row(A)=Gen\{f_{1}, f_{2}, \dots, f_{n}\}$$
donde $f_{n}$ son las columnas de $A$.

• Las operaciones elementales no cambian $row(A)$, pero sí $col(A)$

• Rango: la dimensión común del espacio de filas y el espacio de columnas se denomino el rango de $A$: $rango(A)$. El rango también es el número de variables pivotes en la solución general de $Ax=0$

• Dimensión del espacio nulo: la dimensión del espacio nulo de $A$ se denomina "nulidad de $A$": $nulidad(A)=v(A)$. También, es el número de variables libres o de parámetros en la solución general de $Ax=0$

• Teorema de la dimensión de matrices:

$$rango(A)+v(A)=n$$
donde $n$ es el número de columnas.

• Base para col(A) y row(A):
  $[A|I]\sim[R|E]$
  Una base para $row(A)$ estará formad apor las $r$ filas de $R$ que contienen pivotes
  
  Una base para $col(A)$ estará formada por las $r$ columnas de $A$ que contienen los 1 de

\

• El rango es el número de filas no nulas en la forma escalonada
• Inversible — cuadrada y determinante diferente de 0
• Matriz diagonal y triangular: el determinante es la multiplicación de los elementos de la diagonal
• Combinación lineal
  Demostrar que V es combinación lineal de $\{i,j,k\}$
  $$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix}$$

Recordar que
$Ax = b$

• Si det(A) $\not{=}$ 0, el sistema tiene sloución

$x=A^{-1}b$

• Si det(A) = 0, hay infinitas soluciones o no hay ninguna

• Si rango(A) = rango(A|B)???
  rango(A) = #variables, hay solución única
  rango(A) < # de variables, hay infinitas soluciones

• Si rango(A) $\not{=}$ rango(A|B) —> No hay solución

Ejemplo álgebra
SI es simétrica, entonces a=4
Simétrica $A^{t} = A$
$$\begin{bmatrix} 1 & 5 \\ a^{2} - 11 & 7 \end{bmatrix}$$

$$a^{2} - 11 = 5 \\ a^{2} = 16\\ a = \pm 4 \\ \therefore False$$

la única operación elemental que mantiene el determinante es sumarle a otra fila un múltiplo de otra. SI cambiamos fila, cambia el signo del terminante. Multiplicar por un escalar multiplica al determinante por el mismo escalar.

• Recordar que det(kA) = $k^n$det(A)
  Matriz de orden $n$
• det($A^{t}$)=det(A)

Sea det(A) = 2 y det(B) = 3, det($2AB^{t}$)=12

$2^{3}$det($AB^{t}$) = $2^{3}$det(A)det($B^{t}$)=8(2)(3)=48

$\therefore$ Es falso

• det(AB) = det(A)det(B)

Sistema de ecuaciones
$$\begin{cases} x+y=10 \\ 2x+2y=20 \end{cases}$$

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 10 \\ 20 \end{bmatrix}$$

• espacio nulo, todos aquello eelementos que tienen componenetes tales que al multiplica por los terminos de 0
• espacio nulo de A son todos los vectores que multiplicados por la amtriz de nulo $nul(A)=\{v:Av=0\}$

nul(A)=$\{ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} :\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \}$

La matriz $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$ es el $A$, $\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ es un sistmea homogéneo.

det(A) diferente de cero, única solucion. det(A) = 0, infinitas soluciones, para un sistema homogeneo $Ax=0$.

En este caso, det(A) es 0, por lo que el espacio nulo tiene infinitos elementos

g.
Escalonada reducida, los pivote debe ser 1 y el único elemento no nulo de la columna.

h.
Subespacio vectorial

• el vector nulo debe pertenecer al subespacio
• para todo par de vectores, su suma también lo esté
• Si u est{a en S y alpha pertence a los reales, u por alpha pertenece al subestacio
  El conjunto $S=\{\begin{bmatrix} t \\ 1 \end{bmatrix}:t \in \reals\}$ es un subespacio vectorial de $\reals^{2}$. Es falso, porque $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ no está en el subespacio.

i.
La matriz N tiene espacio columna con dimension igual a 2
col(N)=$\{\alpha_{1} C_{1}+\alpha_{2} C_{2}+\alpha_{3} C_{3}\}$=Gen($C_{1}, C_{2}, C_{3}$)

$$C_{1}= \begin{bmatrix} 3\\ 0\\ 7 \end{bmatrix}, C_{2}= \begin{bmatrix} 2\\ 2\\ 3 \end{bmatrix}, C_{1}= \begin{bmatrix} -1\\ -4\\ 1 \end{bmatrix}$$
Dominio$_{m}$(col(A))=rango(A)

$$\begin{bmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 0 & 2 & -4 \\ 3 & 2 & -1 \end{bmatrix}$$

Escalonamos
$$\begin{bmatrix} (3) & 2 & -1 \\ 0 & (2) & -4 \\ 3 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

Agarramos los pivotes (3) y (2), que nos indican que $C_{1}$ y $C_{2}$ son base
Rango = 2 = dim(col(A)).
$\therefore$ Es verdad

j.
El espacio fila de la matriz $\begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 12\end{bmatrix}$ es una recta en $\reals^{2}$

row(A)=$\{\alpha_{1} f_{1}+\alpha_{2} f_{2}\}$=Gen($f_{1}, f_{2}$)
f$_{1}$=[1 4]
f$_{2}$=[3 12]
Sea $\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\in row(A)$

$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\alpha_{1}\begin{bmatrix} 1 \\ 4 \end{bmatrix}+\alpha_{2}\begin{bmatrix} 3 \\ 12 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} A|B \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & | & x \\ 4 & 12 & | & y \end{bmatrix}$

Escalonamos

$\begin{bmatrix} A|B \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & | & x \\ 0 & 0 & | & y-4x \end{bmatrix}$

$y-4x=0 \Rightarrow y=4x \Rightarrow V=\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x \\ 4x \end{bmatrix}=x\begin{bmatrix} 1 \\ 4 \end{bmatrix}$

compatible detemrinada si SEL en fomra escalonada de matriz ampliada eiene rango igual al numero de variables. solucio única